Metodos de Integración

Definición: Antiderivada

Una función F es una antiderivada de una función f, si F’(x) = f(x) en algún intervalo

Ejemplo ilustrativo 1

Si F es la función definida por F(x)=8x^3-5x^2-7, es una antiderivada de la función f(x)= 24x2-10x

Entonces:
f es la derivada de F
F es la antiderivada de f.

Ejemplo ilustrativo 2

Se G la función definida por G(x)= 8x3-5x2, es también una antiderivada de la función f(x) = 24x2-10x
En realidad, cualquier función determinada por 8x3-5x2+C, donde C es una constante, es una antiderivada de f.

Conclusión
Una función f(x) puede tener más de una antiderivada

Teorema para calcular la antiderivada más general de una función

Si F es una antiderivada particular de f en un intervalo I, entonces cada antiderivada de f está dada por:

F(x)+C

Donde C es una constante arbitraria, y todas las antiderivadas de f en I pueden obtenerse a partir de (1) asignando valores particulares a C

La integral indefinida como la antiderivada más general de la función f

Si F(x)+C es la antiderivada más general de f(x) entonces:

Al proceso de encontrar una antiderivada de f(x) se le denomina integración.

Propiedades generales de la integral indefinida

  • Proceso de Integración

  • Propiedades de la integral indefinida

Ejemplo Ilustrativo 1

Ejemplo Ilustrativo 2

Como 3C1 + 5C2 es una constante arbitraria, puede denotarse por C, de modo que el resultado puede escribirse como

Integración por Sustitución

Sea u=g(x) si f=f(u) entonces una antiderivada de f es:


Sugerencia: Hacer

Si u=g(x) es una función diferenciable


Así:


Otras:


Integración por partes

Sea f(x) y g(x) dos funciones diferenciables


Entonces


Si u=f(x) y Si v=g(x) tenemos:


Ejemplo Ilustrativo 1

Integración por fracciones parciales

Ejemplo Previo

Si se tiene:


Si ahora queremos integrar:


Si se quiere integrar:


Debe cumplir que:


Que es una función racional donde el grado del polinomio P(x) debe ser P(x) mayor que Q(x)

Denominadores Que Contienen Factores Lineales

Caso I: Factores lineales no repetidos

Si tenemos que:




Ejemplo:

Tomamos



Resolvemos


Así


Al despejar el sistema de ecuaciones nos queda:


Así entonces la integral la resolvemos de la siguiente forma:


Caso II: Factores lineales repetidos

Si tenemos que:


Donde n>1 y el grado de P(x) menor menor que n , entonces se pueden encontrar constantes únicas M_1,M_2…M_n tales que:

Ejemplo:


Tomamos:


Resolvemos:


Así:


Al despejar el sistema de ecuaciones nos queda:


Así entonces la integral la resolvemos de la siguiente forma:


Si u=x+1 y du=dx


Combinación casos I y II

Cuando el denominador Q(x) contiene tanto factores lineales distintos como repetidos

Ejemplo:


Tomamos


Resolvemos


Así


Al despejar el sistema de ecuaciones nos queda:


Así entonces la integral la resolvemos de la siguiente forma:


Caso III: Factores Cuadráticos No Reducidos

Ejemplo:


Tomamos


Resolvemos


Al despejar el sistema de ecuaciones nos queda:


Así entonces la integral la resolvemos de la siguiente forma:



Caso IV: Factores Cuadráticos Repetidos


Ejemplo:


Al despejar el sistema de ecuaciones nos queda:



Así entonces la integral la resolvemos de la siguiente forma:



Para resolver la última integral resolvemos por sustitución trigonométrica




Integración por sustitución trigonometrica




Ejemplo Ilustrativo

Entonces


Por lo tanto


Ahora


Por lo que nos queda que la respuesta es



Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas Inversas

Ejemplo 1

Sea a=cte


Entonces


Ejemplo 2

Sea a=cte


Entonces


Ejemplo 3

Sea a=cte


Entonces


Para los casos:


Resulta igual, solo que se interpone el signo menos a c/u

Ejemplo Ilustrativo 1

Ejemplo Ilustrativo 2

Si u=3x entonces du=3dx por lo tanto dx=du/3


Evaluación