Integral Definida

Definición : SUMA DE RIEMANN

Sea f una función definida en un intervalo [a , b] y si se divide dicho intervalo en subintervalos no necesariamente iguales. Ver figura No. 1.

Se denota esta subdivisión del intervalo como una partición Δ que contiene n subintervalos. Sea ‖Δ ‖ la norma de la partición, es decir la longitud del intervalo más largo. Sea ω_i un punto de cada subintervalo (ver figura No. 2 ),

entonces el área de cada rectángulo será f(ω_i ) Δ_i , luego la suma total de todos los rectángulos será :

Ésta suma recibe el nombre se SUMA DE RIEMANN

Nota : algunos f(ω_i ) pueden ser negativos y por ende el área de ese intervalo también será negativa.

Simulación sobre Suma de Reimann

Definición : INTEGRAL DEFINIDA

Si f es una función definida en el intervalo [a , b], entonces la INTEGRAL DEFINIDA de f denotada por:

y está dada por:

Así se definirá el área ( A ) de una región limitada por una función y el eje x

Definición : ÁREA

Si f es una función continua en el intervalo [a , b], y f(x)≥0 ∀ x∈[a ,b], entonces el área de la región ( A ) limitada por la curva de la función f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b está dada por :

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Teorema del valor medio para integrales

Si f(x) es continua en un intervalo [a , b] , entonces existe un número r ∈ R / a≤r≤b y

Ejemplo ilustrativo 1

Sea la integral definida siguiente, cuyo cálculo está efectuado ( Se explicará posteriormente cómo se hace el cálculo) :

Encontrar el valor de r tal que

Solución: Como el valor de la integral se conoce, entonces

Valor promedio

Definición :

Si f(x) es una función integrable en un intervalo [a , b], EL VALOR PROMEDIO de f(x) en [a , b] es :

Ejemplo ilustrativo 1

Teorema fundamental del calculo A

Teorema:

Sea f una función continua en un intervalo [a , b] y sea x∈ [a ,b]

Si

Ejemplo ilustrativo 1

Integral Definida

Teorema fundamental del calculo B

Teorema:

Sea f(x) una función continua en un intervalo [a , b] y sea F(x) cualquier función para la cual F(x)^'=f(x) , entonces

Demostración:

Sea G(x) una antiderivada de f(x), donde f(x) es una función continua en [a , b] , implica que

Sea F(x) otra antiderivada de f(x), entonces G(x) - F(x) = C , Luego

Si se sustituye x = a, se obtiene:

Ahora si se sustituye x = b se obtiene:

Evaluación

En cada una de los siguientes ejercicios, seleccione una unica respuesta..